Implementação q-Voter

Implementação do modelo q-Voter não-linear, baseado no artigo:

📄 Nonlinear q-voter model
Claudio Castellano, Miguel A. Muñoz, and Romualdo Pastor-Satorras
Physical Review E 80, 041129 (2009).

Regra de atualização (tempo discreto):

• A um dado tempo $t$, escolha aleatoriamente um spin no nó $i$;

• Escolha aleatoriamente $q$ vizinhos do nó $i$ (com possibilidade de repetição);

• Se todos os $q$ vizinhos estiverem no mesmo estado, o spin original atualiza seu estado para aquele dos seus vizinhos;

• Caso os $q$-vizinhos não estejam no mesmo estado, o spin original muda com probabilidade $\varepsilon$;

• O tempo é atualizado $t\leftarrow t+1/N$.

Esta regra leva, naturalmente, à taxa de transição $f$ de um determinado sítio $i$. Sendo $x$ a fração de vizinhos com spin diferente, então devemos levar em conta as probabilidades de:

• selecionarmos $q$ vizinhos com spin diferente de $i$, $x^q$;

• selecionarmos $q$ vizinhos com spin igual ao de $i$, $(1-x)^q$.

Deste modo, $f(x;q,\varepsilon) = x^q + \varepsilon\big(1 - x^q - (1-x)^q\big)$. Utilizamos esta taxa para o algoritmo de Gillespie.

Regra de atualização (tempo contínuo), sendo $N$ o tamanho da rede e $\max_f=\sup_x\left[f(x;q,\varepsilon)\right]$:

• A um dado tempo $t$, escolha aleatoriamente um spin no nó $i$;

• O spin de $i$ flipa caso $f_i(x_i) \geq r^\text{r}\cdot\max_f$, com $r^\text{r}\in[0,1)$,

• O tempo é atualizado por $t\leftarrow t + \log(1-u^\text{r})/(N\max_f)$, com $u^\text{r}\in[0,1)$.