Nonlinear q-Voter

O modelo q-votante não-linear:

📄 Nonlinear q-voter model
Claudio Castellano, Miguel A. Muñoz, and Romualdo Pastor-Satorras
Physical Review E 80, 041129 (2009).

Regras de atualização¶

Processo de Markov em tempo discreto:

• A um dado tempo $t$, escolha aleatoriamente um spin no nó $i$;

• Escolha aleatoriamente $q$ vizinhos do nó $i$ (com possibilidade de repetição);

• Se todos os $q$ vizinhos estiverem no mesmo estado, o spin original atualiza seu estado para aquele dos seus vizinhos;

• Caso os $q$-vizinhos não estejam no mesmo estado, o spin original muda com probabilidade $\varepsilon$;

• O tempo é atualizado $t\leftarrow t+1/N$.

Esta regra leva, naturalmente, à taxa de transição $f$ de um determinado sítio $i$. Sendo $x$ a fração de vizinhos com spin diferente, então devemos levar em conta as probabilidades de:

• selecionarmos $q$ vizinhos com spin diferente de $i$, $x^q$;

• selecionarmos $q$ vizinhos com spin igual ao de $i$, $(1-x)^q$.

Deste modo, $f(x;q,\varepsilon) = x^q + \varepsilon\big(1 - x^q - (1-x)^q\big)$. Utilizamos esta taxa para o algoritmo de Gillespie.

Processo de Markov em tempo contínuo, sendo $N$ o tamanho da rede e $\max_f=\max_x\left[f(x;q,\varepsilon)\right]$:

• A um dado tempo $t$, escolha aleatoriamente um spin no nó $i$;

• O spin de $i$ flipa caso $f_i(x_i) \geq r^\text{r}\cdot\max_f$, com $r^\text{r}\in[0,1)$,

• O tempo é atualizado por $t\leftarrow t + \log(1-u^\text{r})/(N\max_f)$, com $u^\text{r}\in[0,1)$.

Situação atual do q-Voter na literatura¶

A revisão do Michele sobre dinâmica de opinião foi a principal referência para pesquisar sobre o status do modelo do q-voter na literatura atual:

📄 Opinion dynamics: Statistical physics and beyond
Michele Starnini, Fabian Baumann, Tobias Galla, David Garcia, Gerardo Iñiguez, Márton Karsai, Jan Lorenz, Katarzyna Sznajd-Weron
arXiv preprint arXiv:2507.11521 (2024/2026).

A questão é que o modelo original, tal como proposto por Castellano, não foi extensivamente estudado. Nos artigos que verifiquei, a maioria segue por dois caminhos principais: adotar $\varepsilon=0$ ou adotar o modelo com repetição, que vamos chamar, aqui, de variante q-voter.

A variante foi originalmente proposta neste artigo:

📄 Phase transitions in the q-voter model with two types of stochastic driving
Piotr Nyczka, Katarzyna Sznajd-Weron, and J. Cisło
Physical Review E 86, 011105 (2012).

A questão que o diferencia do q-voter original é fazer uma seleção de vizinhos sem repetição, fixando $\varepsilon=0$ e adicionando um “ruído social” $p$, para modelar conformismo ou anticonformismo do agente com o grupo social. A regra de atualização se torna:

• Escolha aleatoriamente um agente $i$;

• Escolhem-se $q$ vizinhos sem reposição;

• Se os $q$ vizinhos não forem unânimes, nada acontece ($\varepsilon = 0$).

• Se os $q$ vizinhos forem unânimes, o agente $i$ reage:

  • Com probabilidade $1-p$ (Conformismo), ele copia o grupo.

  • Com probabilidade $p$ (Anticonformismo), ele adota a opinião oposta à do grupo.

Este modelo também tem uma variação para simular independência do agente em relação à rede:

• Escolha aleatoriamente um agente $i$;

• Com probabilidade $p$ (Independência), o agente ignora a rede e age aleatoriamente: ele muda de estado com probabilidade $1/2$.

• Com probabilidade $1-p$ (Conformismo), o agente decide seguir o grupo:

  • Escolhem-se $q$ vizinhos sem reposição.

  • Se todos os $q$ vizinhos concordarem entre si e tiverem uma opinião diferente da de $i$, o agente $i$ copia a opinião deles.

  • Caso contrário (se não houver unanimidade ou se o grupo já concordar com $i$), nada acontece ($\varepsilon=0$).

Este segundo, chamaremos de variante q-voter com independência.

Ao que parece, a bibliografia posterior ao trabalho de Castellano deu preferência a este “segundo” q-voter. A tabela abaixo reúne vários artigos consultados, discriminando-os pelo modelo analisado, tipo de amostragem de vizinhos (com/sem repetição), topologia e métodos de estudo.

Outra coisa importante de destacar é a quantidade de modelos diferentes genericamente chamados pelo mesmo mesmo nome, q-voter ou nonlinear q-voter. Para verificar, de fato, de qual modelo se trata num dado trabalho, é necessário olhar como é definido o modelo utilizado. A revisão do Michele dedica duas seções inteiras (IV.A.2 e IV.B.3) para organizar a vasta família que deriva do original, da qual apresento um resumo na tabela abaixo.

Ponto de partida¶

Como o modelo de interesse é, por assim dizer, negligenciado pela literatura, o ponto de partida são os artigos que estudam as propriedades centrais do q-voter, tanto em reticulados $\mathbb{Z}^d$ quanto com teorias de campo médio:

📄 Nonlinear q-voter model
Claudio Castellano, Miguel A. Muñoz, and Romualdo Pastor-Satorras
Physical Review E 80, 041129 (2009).

📄 Mean-Field Analysis of the q-Voter Model on Networks
Paolo Moretti, Suyu Liu, Claudio Castellano, and Romualdo Pastor-Satorras
Journal of Statistical Physics 151, 113–130 (2013).

Assim, é necessário estudar tanto a implementação em reticulados quanto em redes complexas. Este par de artigos oferece uma base para guiar o que estudar.

Os trabalhos anteriores ao de Castellano que caracterizam a dinâmica de um possível modelo do votante não-linear são:

Primeiro trabalho sobre generalizações não-lineares do modelo do votante.

📄 Nonlinear Voter Models
J. T. Cox and R. Durrett
Em: Random Walks, Brownian Motion, and Interacting Particle Systems: A Festschrift in Honor of Frank Spitzer (Birkhäuser, Boston, MA), pp. 189–201 (1991).

Solução exata do modelo do votante (linear).

📄 Exact results for kinetics of catalytic reactions
L. Frachebourg and P. L. Krapivsky
Physical Review E 53, R3009(R) (1996).

Definição da classe de universalidade GV.

📄 Critical Coarsening without Surface Tension: The Universality Class of the Voter Model
Ivan Dornic, Hugues Chaté, Jérôme Chave, and Haye Hinrichsen
Physical Review Letters 87, 045701 (2001).

Equação de Langevin para a classe de universalidade GV.

📄 Langevin Description of Critical Phenomena with Two Symmetric Absorbing States
Omar Al Hammal, Hugues Chaté, Ivan Dornic, and Miguel A. Muñoz
Physical Review Letters 94, 230601 (2005).

Equação de Langevin a partir de hipóteses de simetria

📄 Systems with two symmetric absorbing states: Relating the microscopic dynamics with the macroscopic behavior
Federico Vazquez and Cristóbal López
Physical Review E 78, 061127 (2008).

Quantidades e definições¶

Dada uma rede $\big(V,E\big)$ com $N$ nós e matriz de adjacência $A_{ij}$, definimos:

• Estados de spin no tempo $t$,

  $$\xi_t:V\to\lbrace -1,1\rbrace,$$

  (1)

  e.g. o estado do nó i: $\xi_t(i)=\pm1$;

• Atividade da aresta (matriz de atividade) no tempo $t$,

  $$\chi_t:E\to\lbrace 0,1\rbrace,$$

  (2)

  com a lei de formação

  $$\chi_t\left(A_{ij}\right) = \begin{cases}0\cdot A_{ij},\,\text{ caso }\xi_t(i)=\xi_t(j)\,,\text{ e}\\ 1\cdot A_{ij}\,,\text{ caso }\xi_t(i)\not=\xi_t(j)\end{cases};$$

  (3)

• Magnetização média por spin,

  $$\phi(t)=\frac{1}{N}\sum_{i\in V}\xi_t(i);$$

  (4)

• Densidade de vértices ativos,

  $$\rho(t) = \frac{1}{||E||}\sum_{\eta\in E}\chi_t(\eta);$$

  (5)

• Tempo de saída, $\tau$: tempo (Markov) necessário para a rede atingir o consenso em simulações com tamanho finito.

Nos interessa diferenciar os comportamentos assintóticos possíveis do modelo. Podemos ter a ocorrência de:

• Clustering/consenso (fase ordenada/ferromagnética): dado dois nós diferentes $i$ e $j$ da rede, temos

  $$\lim_{t\to\infty}\text{P}\big[\xi_t(i)\not=\xi_t(j)\big]\to0;$$

  (6)

• Coexistence/fragmentação (fase desordenada/paramagnética): caracterizada pela existência de uma distribuição estacionária com quantidades macroscópicas de sítios nos estados -1 e +1.

Assim, adotando a notação $_\infty$ para grandezas assintóticas (isto é, medidas em $t\to\infty$), definimos, também:

• Probabilidade de consenso: probabilidade de termos $\sum_i^N|\xi_\infty(i)|=N$, de modo que é equivalente ao valor esperado de $\phi_\infty=\pm1$, $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]$, e ao valor esperado $\rho_\infty=0$, $\mathrm{E}\big[\rho_\infty=0\big]$;

• Probabilidade de saída: probabilidade de termos $\sum_i^N\xi_\infty(i)=N$, isto é, do sistema chegar ao estado de consenso +1, equivalente a $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=1\big]$.

Desse modo, a ocorrência de clustering é caracterizada por $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]\to 1$, enquanto a ocorrência de coexistence, por $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]\to 0$; ou, ainda, respectivamente, $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\text{sgn}(\phi_0)\big]=1$ e $\mathrm{E}\big[\phi_\infty=\pm1\big]=0$.